Ənvər Əliyulla oğlu Vəliyev Bakıda anadan olub.

Azərbaycan Dövlət Teatr İnstitutunun Dram-kino fakültəsində təhsil alıb (1968-1973).

1973-cü ildən institutda pedaqoji fəaliyyətlə məşğul olub. Azərbaycan Dövlət Mədəniyyət və İncəsənət Universitetinin Səhnə danışığı kafedrasının dosenti idi. Bədii qiraət ustası kimi də tanınıb.

Əməkdar müəllim Ənvər Vəliyev 2023-cü ildə vəfat edib.